微積分,,生活中的數學,,當你呱呱落地降臨人世的第一天，醫(yī)生就要檢測一下你的各項健康指標，為你量量身體的長度，稱稱你的體重，這些都與數和量有關，這就是數學，人生到世界上來的第一天就遇到數學，數學哺育著你成長隨著年齡增長，你隨時隨地都在接觸數學,.,你開始在大人們的指導下，學習數數；學習畫三角形、方塊和圓；用剪刀剪出各種美麗的圖案，或者用紙折出小鳥、小船等各種形狀的玩具；到商店去購買你喜歡吃的各種食品；,…….,這一切的一切，你會逐漸意識到都和數、數的運算、數的比較、圖形的大小、圖形的形狀、圖形的位置有關，這又是數學,.,,你進入學校，正式開始學習數學這門學科，懂得了初步的數學語言,.,知道了整數和分數；學會了加、減、乘、除；認識了三角形、長方形、正方形、圓，以及長方體、正方體、圓柱體和球等幾何圖形；了解了簡單的統(tǒng)計知識,.,數學知識開闊了你的視野，改變了你的思維方式，使你變得更聰明了,.,,隨著市場經濟的發(fā)展，成本、利潤、投入、產出、貸款、效益、股份、市場預測、風險評估等一系列經濟詞匯頻繁使用，買與賣、存款與保險、股票與債券,……,幾乎每天都會碰到,.,而這些經濟活動無一能離開數學,.,,,人們生活在經濟社會中，生活要精打細算，每個同學不管有意無意的都在算著經濟賬，比如買名牌衣服要找高折扣的店，用手機需要計算各種套餐哪種最適合自己等等，用有限的錢發(fā)揮最大的用處，你和你的家庭在生活中那些是需要算計這個經濟賬的呢？,,,高中生王明春節(jié)期間拿到了壓歲錢，想在春節(jié)商場搞活動時買雙運動鞋和書包，經過實地考察，有三家商家在搞活動，其中一家是全場,8,折，另外一家是買滿,100,元返,50,元券， 用券購物不受限制，第三家是累計滿,100,元直降,30,元，他看中的鞋子是,480,元，書包,198,元，王明選擇哪家購物最省錢？,,,一個三口之家，男主人張偉、女主人王芳和女兒張玉，張偉剛跳槽到一家外企，薪金待遇是稅前工資是,10000,元，公司要扣除四險一金共,1400,元，那么稅后張偉能拿到多少工資呢？,,相關知識：應納稅所得額,=,應發(fā)工資,-,四險一金（基本養(yǎng)老保險金、醫(yī)療保險金、失業(yè)保險金、工傷保險金、住房公積金）,-,起征點（,2000,元）,,張偉一家人準備為了,3,年后孩子讀大學準備專項存款，采用零存整取三年期存款的方式，從這個月開始每個月第一天存入銀行,1000,元，銀行以年利率是,1.98%,計息，問張偉在三年存款期滿時可以拿到的本利和是多少？（精確到,0.01,元）,,月利率,=,年利率,/12,,,,張偉一家想改善住房條件，購置了一套,150,萬元的房產，他們現在一家稅后月收入,13000,元，其中首付了,4,成,60,萬，除去生活開銷和教育儲蓄,5000,元，貸款的,90,萬元選擇,20,年的貸款，每月還能結余多少錢？,,,生活中常見的其他一些數學,,,大小恒常性錯覺,“一筆畫”的規(guī)律,,你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？,,試試看。

不走重復線路）,,圖,1,圖,2,,在這個樓梯中，你能分清哪一個是最高或最低的樓梯嗎？??? 當你沿順時針走的時候，會發(fā)生什么呢？? ? ??? 如果是逆時針，情況會怎么樣呢？,,,不可能的樓梯,不可能的樓梯,荷蘭美術大師,M. C. Escher,作品,黑夜還是白天,?,圓形的拱頂,瀑布,上升還是下降,?,,烤面包的時間,史密斯家里有一個老式的烤面包器，一次只能放兩片面包，每片烤一面要烤另一面，你得取出面包片，把它們翻個面，然后再放回到烤面包器中去烤面包器對放在它上面的每片面包，正好要花,1,分鐘的時間烤完一面一天早晨，史密斯夫人要烤,3,片面包，兩面都烤史密斯先生越過報紙的頂端注視著他夫人當他看了他夫人的操作后，他笑了她花了,4,分鐘時間親愛的，你可以用少一點的時間烤完這,3,片面包，”他說，“這可以使我們電費賬單上的金額減少一些史密斯先生說得對不對？如果他說得對，那他的夫人該怎樣才能在不到,4,分鐘的時間內烤完那,3,片面包呢？,不可能的三角形,,,,悖論（一）,,一天，薩維爾村理發(fā)師掛出了一塊招牌：,村里所有不是自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā),于是有人問他：,“,您的頭發(fā)誰給理呢？”,理發(fā)師頓時啞口無言。

悖論（二）,,有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說,上帝是無所不能的，什么事都做得到,一位過路人問了一句話：,“,上帝能創(chuàng)造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎,？”,,教徒啞口無言,１．我說一句話，如果這句話是真的，那么你就給我你的相片，可以嗎？,２．你不會給我你的相片,可以,請問男說了一句什么話使得這個女生只能將玉照送他？,悖論（三）,,,賣馬,,,某人賣馬一匹，得錢,１５６,盧布但是買主買到馬以后又懊悔了，要把馬退還給賣主，他說這匹馬根本不值這么多錢于是賣主向買主提出了另一種計算馬價的方案說，如果你嫌馬太貴了，那么就只買馬蹄上的釘子好了，馬就算白送給你,每個馬蹄鐵上有６枚釘子，第一枚釘子只賣,1,個戈比（１盧布等于１００戈比），第二枚賣,2,個戈比，第三枚,4,個戈比，后面每個釘子價格依此類椎,買主認為釘子的價值總共也花不了１０個盧布，還能白得一匹好馬，于是就欣然同意丁結果買主算賬后才明白上當試問買主在這筆交易中要虧損多少？,,1+2+2,2,+2,3,+2,4,+ …+2,23,=,,分數的妙用,有一位阿拉伯老人，生前養(yǎng)有,11,匹馬，他去世前立下遺囑：大兒子、二兒子、小兒子、分別繼承遺產的,1/2,，,1/4,，,1/6,。

兒子們想來想去沒法分：他們所得到的都不是整數，即分別為,11/2,，,11/4,，,11/6,總不能把一匹馬割成幾塊來分吧？,聰明的鄰居牽來了自己的,1,匹馬，對他們說：“你們看，現在有,12,匹馬了，老大得,12,匹的,1/2,，就是,6,匹中，老二得,12,匹的,1/4,就是,3,匹，老三得,12,匹的,1/6,就是,2,匹，還剩下一匹我照樣牽回家去很多人都認為數學是一門很枯燥的學科，的確數學理論性很強需要很多抽象思考， 但是在數學發(fā)展的中也發(fā)生了很多有意思的事情，它可以讓你充分體會到數學的樂趣！ 并在其中掌握數學知識學數學學什麼？,,數學的基本特征,抽象性,演繹性,廣泛性,（研究對象）,（論證方法）,（應用）,假設,結論,logic,理性,,思維,這個學期學什麼？,,一元函數微分,利用極限研究函數的種種表達及其諸多性質,極限的直觀定義與計算,,導數與微分的概念與計算,,微分學應用,,一元函數積分,不定積分,,不,定積分概念與計算,,積分學應用,交作業(yè)時間：,,星期五下午上課,,微 積 分,微 積 分,在中學里接觸到的大多是初等數學，即只討論,簡單的量的關系,，尤其只討論,常量和固定圖形,，這種數學思想一直沿襲到十七世紀初，爾后法國數學家,笛卡爾,(R.Descartes 1596-1650),把變量引進了數學，并創(chuàng)立了坐標概念，于是在數學中不再限制于考慮常量和固定圖形，進而開始考慮變的量和圖形。

高等數學就應運而生這主要歸功于英國數學家,牛頓,(I.Newton 1643-1727),和法國數學家,萊布尼茲,(,G.W.Leibniz,1646-1716),這就是今后要學習的課程鏈接目錄,第一章,函數,第二章,,極限與連續(xù),第三章,導數與微分,第四章,,中值定理,,,導數的應用,第五章,,不定積分,第六章,,定積分,第七章,,無窮級數,(,不要求,),第八章,,多元函數,第九章,,微分方程,復習,,,參考書,[1],趙樹嫄,.,微積分,.,中國人民大學出版社,,[2],同濟大學,.,高等數學,.,高等教育出版社,第一章 函數,集合,,實數集,,函數關系,,分段函數,,建立函數關系的例題,,函數的簡單性質,,反函數與復合函數,,初等函數,,函數圖形的簡單組合與變換,函數,-,集合,集合是指具有特定性質的一些事,物的總體,.,組成這個集合的事物稱為該集合的元素,.,通常用大寫拉丁字母表示集合，小寫字母表示元素,.,,,a,是集合,M,的元素,,,記作,a,?,M,(,讀作,a,屬于,M),；,,a,不是集合,M,的元素,,,記作,a,?,M,(,讀作,a,不屬于,M).,集合,定義,函數,-,集合,例子,1. 1990,年,10,月,1,日在南寧市出生的人。

2.,彩電、電冰箱、,VCD,3. x,2,-5x+6=0,的根集合具有確定性，即對某一個元素是否屬于某個集合是確定的，是或不是二者必居其一由有限個元素構成的集合,，稱為有限集合由無限多個元素構成的集合,，稱為無限集合；,4.,全體偶數,函數,-,集合,集合的表示法,1.,列舉法,：,按任意順序列出集合的所有元素,,,并用,{},括起來例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所構成的集合,A,，,可表示為：,A={2,3},注,：必須列出集合的所有元素，不得遺漏和重復函數,-,集合,2.,描述法,：,設,P(a),為某個與,a,有關的條件或法則，,A,為,滿足,P(a),的,一切,a,構成的集合,，記為：,A={a|P(a)},例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所構成的集合,A,，,表示為：,A={x|x,2,-5x+6=0},例,：全體實數組成的集合通常記作,R,，,即：,R={x|x,為實數,},,2.,文氏圖,,(Venn diagrams),：,用于描述集合間的關系及其運算，其特點是直觀、形象、信息量大且富有啟發(fā)性一般用矩形表示全集,U,，用圓表示,U,的,子集,A,，,B,，,C,等等。

函數,-,集合,全集與空集,所研究的所有事物構成的集合稱為全集,,,記為,:,U,不含任何元素的集合稱為空集，記為：,?,,例,1,：,x,2,+1=0,實數根集合為空集例,2,：平面上兩條平行線的交點集合為空集注：,{,0,},及,{,?,},都不是空集，前者有元素,0,，后者有元素,?,函數,-,集合,子集,如果集合,A,的元素都是集合,B,的元素，即若,x,?,A,則必,x,?B,，,就說,A,是,B,的子集，記作,A,?,B(,讀作,A,包含于,B),或,B,?,A(,讀作,B,包含,A),如果,A,?,B,且或,A,?,B,，則稱,A,與,B,相等A,?,A,即集合,A,是其自己的子集傳遞性,A,?,B,、,B,?,C,則,A,?,C,?,?,A,，,即空集是任何集合,A,的子集函數,-,集合,集合的運算,集合的并：,A,?,B={x|x,?,A,或,x,?,B},,集合的交：,A,?,B={x|x,?,A,且,x,?,B},,集合的差：,A,-,B={x|x,?,A,且,x,?,B},,,,集合的補：,A ',,={,x|x,,?,U,且,x,?,A},,,,(1),集合的并：集合,A,和集合,B,中所有的元素組成的集合，稱為集合,A,和集合,B,的,并集,，記作,A∪B,。

例,A={1,3,5},B={2,4,6},,則,A∪B={1,2,3,4,5,6},2),集合的交：集合,A,和集合,B,中公共的元素所組成的集合，稱為集合,A,與集合,B,的,交集,，記作,A∩B,3,）集合的差集：屬于,A,但不屬于,B,的元素組成的集合,,,稱為,A,與,B,的,差集,，記作,A-B,例,A={1,2,3},B={2,4,6},則,A-B={1,3},,,B-A={4,6},例,A={0,1,2},B={1,2},則,A-B={0}≠Φ,例,已知,A=,｛,x l x>4,｝,,B=,｛,x l,lxl,<6,｝1,）求,A-,（,A-B,）和,B-,（,B-A,）,2,）由此得到什么結論？,,A=,｛,x l x>4,｝,,B=,｛,x l-6< x<6,｝1.A-B={,x|x,>=6,或,-6=6},B-(B-A)=A=,｛,x l x>4,｝,,A-,（,A-B,）,=B,和,B-,（,B-A,）,=A,,（,4,）集合的補集：全集,U,中不屬于集合,A,的元素組成的集合，稱為,A,的,補集,，記作,A',。

例,R─,實數全體，,P─,有理數全體,, Q─,無理數全體,.,則,P'=Q, Q'=P, P∪Q=R,例,U={1,2,3,4,…,10}, A={2,5},,則,A'={1,3,4,6,7,8,9,10},5,、集合的運算性質,,(1),補的性質,A∪A'=U, A∩A'=Φ,,,(A',）,'=A .,,(2),交換律,A∪B=B∪A, A∩B=B∩A .,,(3),結合律　（,A∪B,）∪,C=A∪(B∪C),,,(A∩B)∩C=A∩(B∩C) .,,(4),分配律?。?A∪B,）∩,C=(A∩C)U(B∩C),,,(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) .,,(5),摩根律,(A∪B) '=A'∩B',,,(A∩B)'=A'∪B'.,,集合的笛卡爾乘積,,有序元素組,(,x,y,),,集合,A,與集合,B,，笛卡爾積,A×B,＝,{(,x,y,),〡,x∈A,，,y∈B,},，即兩個集合中各取一個數組成一個數組,,集合,A{a1,a2,a3},,集合,B{b1,b2},,他們的 笛卡爾積 是,,A,×,B ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},。

函數,-,集合,實數與數軸,在一條直線上指定了一點作為,原點,O,，,再指定了,正向,，此外又規(guī)定了,單位長度,，這條直線就稱為數軸數軸上的點與實數之間可以建立一一對應的關系,有時為了形象化起見，把,數,x,稱為點,x,，,就是指數軸上與數,x,對應的那個點1,-1,0,O,x,絕對值,:,運算性質,:,絕對值不等式,:,6,、區(qū)間、鄰域,,區(qū)間,：設,a,b,是實數，且,a

a,稱為鄰域的中心，,δ,稱為鄰域的半徑x,a,a-,δ,a+,δ,例,：,Ｕ,(,2 ,1,)={,x | |x-2|<1,}={,x | 1

如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數．,定義,:,,,,要使該項有意義，對,,數的真數必須大于,0.,的定義域,.,,求函數,,要使該項有意義，分母,,的被開方式必須大于,0,；,練習,1,,解 要使該函數有意義，必須,,,公共部分,所以，該函數的定義域為,,分析,,例,3,：,確定函數,y=,的定義域√,ln,tgx,1,ln,tgx,,>0,tgx,>,0,tg,x,>,1,x,?,,(,,k,π,, k,π,+ ),{,},解：,x,≠k,π,+,π,2,π,,2,x,?,(,k,π,+ , k,π,+ ),π,4,π,2,x,?,(,k,π,+ , k,π,+ ), k=0,,±,1,,±,2,,±,3,……,為所求的定義域,π,4,π,,2,,例子,例,1,：,確定函數,y=,的定義域lg(3,x,-2),1,lg(3,x,-2) ≠0,3,x,-2>0,3,x,-2 ≠ 1,x>,2/3,x,≠ 1,{,},D=(2/3,1),?,(1,,+∞,),例,2,：,確定函數,y=,arcsin,,的定義域。

√25-,x,2,1,x-,1,5,+,解：,解：,{,x-,1,5,,≤,1,√25-,x,2,≠0,25-,x,2,≧,0,-,4,≤,x,,≤6,,},|x-,1|,≤,5,25-,x,2,>0,-,5<,x<,5,,},D=[-4, 5),,,,這是已知函數的,,表達式,,,求函數在,,指定點的函數值．,設,,練習,2,求,解 是當自變量 取,1,時函數的函數值．,將 表示式中的 換為,,為數值,1,.,類似地,.,或記作,,,,設,,練習,2,,求,續(xù)解,將 表示式中的 換為,將 表示式中的 換為,,,,對案例,,4, ,求：,(1),函數 的定義域；,,(2),乘客乘車,km,、,km,、,km,和,km,所付的費用．,解,(1),該函數的定義域是,(2),因,故當乘客乘車,km,時,,,所付的費用,因,故當乘客乘車,km,時,,,所付的費用,(,元,).,分段點,分段點,(,元,).,因,故當乘客乘車,km,時,,,所付的費用,(,元,).,因,故當乘客乘車,km,時,,,所付的費用,(,元,).,,分段函數,——,幾個特殊的函數舉例,,(1),符號函數,1,-1,x,y,o,(2),取整函數,y=,[,x,],,[,x,],表示不超過,,x,的最大整數,,1 2 3 4 5,-2,-4,-4 -3 -2 -1,,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,階梯曲線,,非,負小數部分函數,,取整函數,y=,(,x,)=x-[x],,,x=7/3,時,,[x]=2,，,(x)=0.5,,x=1/3,時,,[x]=0,，,(x)=1/3,,x=-8/5,時,,[x]=-2,，,(x)=0.4,O,-2 -1 1 2,1,y=,(,x,),x,y,,(3),狄利克雷函數,有理數點,無理數點,?,1,x,y,o,(4),取最值函數,y,x,o,y,x,o,,在自變量的不同變化范圍中,,,對應法則用不同的,式子來表示的函數,,,稱為,分段函數,.,(5),絕對值函數,o,x,y,定義域,R,值域,建立函數問題的例題,,,給問題建立數學模型，即建立函數關系。

先明確問題中的自變量、因變量，再根據題意建立等式，得出函數關系，確定函數定義域P,24,頁例,1,、例,2,、例,3,、例,4,,,,函數的,,幾何特性,,奇偶性,單調性,周期性,有界性,函數的簡單性質,,1,．函數的有界性,:,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,M,-M,y,x,o,X,無界,函數,-,函數的性質,例,1:f(,x,)=,sin,x,在,(,-,∞,,+,∞,),內是有界的因為,|,sin,x,|,≦,1,例,2:f(,x,)=1/,x,在,(,0 ,1,),內是無界的在,[1,,+,∞,),內有界,例,3:,函數,-,函數的性質,2,．函數的單調性,:,x,y,o,函數,-,函數的性質,x,y,o,函數,-,函數的性質,例,1:,判斷函數,y=,x,3,的,單調性解：,對于任意的,x,l,、,x,2,,，設,x,l,＜,x,2,x,2,3,-x,1,3,>0,,所以,x,2,3,>,,x,1,3,,，,故,y=,x,3,在,(,-,∞,,+,∞,),是單調增加的當,,x,1,,x,2,≥0,時,,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,>0,,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)>0,f(,x,2,),-,f(,x,1,)=,x,2,3,-,,x,1,3,,=,(,x,2,,-,,x,1,)(,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,),當,,x,1,,x,2,<0,時,,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,=(,x,1,+x,2,),2,-,x,1,,x,2,>0,,,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)>0,函數,-,函數的性質,例,2:,判斷函數,y=2,x,2,+1,的單調性。

解：,?,x,l,、,x,2,?R,,，設,x,l,＜,x,2,(,x,1,+x,2,)<0,當,x,l,、,x,2,?,,(,-,∞,,0],f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,(2,x,1,2,+,1),-,(2,x,2,2,+,1),,= 2(,x,1,2,-x,2,2,) = 2(,x,1,-x,2,)(,x,1,+x,2,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)>0,f,(,x,1,)>,f,(,x,2,),f,(,x,),單調減少,(,x,1,+x,2,)>0,當,x,l,、,x,2,?,,[0,+,∞,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)<0,f,(,x,1,)<,f,(,x,2,),f,(,x,),單調增加,所以在,(-,∞,,+,∞,),內，不是單調函數,函數,-,函數的性質,3,．函數的奇偶性,:,y,x,o,x,-,x,偶函數,函數,-,函數的性質,y,x,o,x,-,x,奇函數,函數,-,函數的性質,例,1:,判斷函數,y=,x,4,-,2,x,2,,的奇偶性解：,∵,f(-,x,),=,(-,x,),4,–,2(-,x,),2,=,x,4,-,2,x,2,,=f(,x,),∴,y=,x,4,-,2,x,2,,是偶函數。

例,2:,判斷函數,y=1/,x,,的奇偶性解：,∵,f(-,x,),=1/,(-,x,),,= - (1/,x,),,= - f(,x,),∴,y=1/,x,,是,奇函數例,3:,判斷函數,y=,x,3,+1,,的奇偶性解：,∵,f(-,x,),=,(-,x,),3,+1,,= -,x,3,+1,∴,y=,x,3,+1,,既不是奇函數又不是偶函數≠,f(,x,),≠-,f(,x,),{,函數,-,函數的性質,,D,為函數,f(,x,),的定義域,，,如果存在一個不為零的數,l,，,?,x,?,D,值，,x,±,l,?,D,，且,f(,x,+,l,)=f(,x,),,恒成立，則,f(,x,),叫做,周期函數,，,l,叫做,f(,x,),的,周期,通常，我們說周期函數的周期是指,最小正周期,例,1:,函數,y=,sin,x,,,y=,cos,x,,,,是周期函數，周期為,2,π,,4,．函數的周期性,:,函數,-,反函數,設函數,y=,f,(,x,),的定義域為,D,，,值域為,W,如果,?,y,?,W,都有一個確定且滿足,y=,f,(,x,),的,x,?,,D,與之對應，其對應規(guī)則為,f,-1,,,定義在,W,上的函數,x,=,f,-1,(,y,),稱為,y=f(,x,),的,反,函數,。

函數,y=,f,(,x,),的定義域為,D,，,值域為,W,，,x,為,自變量，,y,為因變量,函數,x,=,f,-1,(,y,),的定義域為,W,，,值域為,D,，,y,為自變量，,x,為因變量, 若改,x,為自變量，,y,為因變量，,x,=,f,-1,(,y,),,寫成,y,=,f,-1,(,x,),,函數,-,反函數,D,W,D,W,函數,-,反函數,y,=,f,(,x,),,與,y,=,f,-1,(,x,),的,關系是,x,、,y,互換，它們的圖形關于,y=x,對稱y,=,f,-1,(,x,),不一定是單值函數y,=,f,(,x,),單調單值，則,y,=,f,-1,(,x,),單調單值函數,-,反函數,例,1:,求,y,=3,x-,1,的反函數解：,∵,y,=3,x-,1,∴,x,、,y,互換得,y,=,f,-1,(,x,),=,(,x+,1)/3,為,反函數x,=(,y+,1)/3=,f,-1,(,y,),y,=(,x+,1)/3,y,=3,x-,1,函數,-,復合函數,設,y,=,f,(,u,),的定義域、值域分別是,D,f,,、,W,f,,u,=,φ,(,x,),的定義域、值域分別是,D,φ,,、,W,φ,,若,,D,f,,?,W,φ,,≠,?,,則稱,y,=,f,[(,φ,(,x,)],為,復合函數,,其中,:,x,為自變量，,y,為因變量，,u,為中間變量,。

復合函數的定義域,,,D=,{,x,|,x,?,D,φ,,,,,φ,,(,x,),?,,D,f,,?,W,φ,,},復合函數的值域,,,W={,y,|,y,?,W,f,,,,且存在,u,?,D,f,,?,W,φ,,使,f,(,u,)=,y,},或,W={,y,|,y= f,[(,φ,(,x,)],,x,?,,D},函數,-,復合函數,符合條件：,D,f,,?,W,φ,,≠,?,D,φ,D,W,f,W,W,φ,D,f,D,f,,?,W,φ,y,=,f,(,u,),u,=,φ,(,x,),y,=,f,[(,φ,(,x,)],x,u,y,函數,-,復合函數,,∴,-,1≤,x,≤,,2,即,[-1,2],為,所求的,定義域,函數,-,復合函數,函數,-,復合函數,2,函數,-,復合函數,,例,5:,函數,-,復合函數,,函數,-,復合函數,,函數,-,基本,初等函數,冪函數,由常數及基本初等函數經過有限次四則運算及有限次的復合所構成并可以用一個式子表示的函數，叫,初等函數,下面六類函數,基本初等函數,：,,冪函數,,y=x,α,,,（,,α,是常數,,,α,≠0,,）,,指數函數,,y=,a,x,(,a,是常數,,,a,>0,,a,≠,1),對數函數,,y=,log,a,x,(,a,是常數,,,a,>0,,a,≠,1),三角函數,,y=,sin,x,, y=,cos,x,, y=,tg,x,, y=,ctg,x,y,=,sec,x,, y=,csc,x,;,反三角函數,y=,arcsin,x,, y=,arccos,x,, y=,arctg,x,, y=,arcctg,x,.,α,>,0,,過,(0,0),(1,1),,在,(0, +∞),遞增,α,<,0,,過,(1,1),,在,(0, +∞),遞減,{,D=(-∞,+∞)，W=(0, +∞),過,(0,1),a,>1,遞增,,0<,a,<1,遞減,{,D=(0,+∞)，W=(-∞, +∞),過,(1,0),a,>1,遞增,,0<,a,<1,遞減,{,,函數,-,基本,初等函數,指數函數,函數,-,基本,初等函數,對數函數,函數,-,基本,初等函數,三角函數,正弦函數,余弦函數,函數,-,基本,初等函數,正切函數,余切函數,函數,-,基本,初等函數,正割函數,余割函數,函數,-,初等函數,y=,csc,x,y=,sec,x,y=,ctg,x,y=,tgx,y=,cosx,y=,sin,x,函數,-,初等函數,三角函數,,y=,sin,x,, y=,cos,x,, y=,tg,x,, y=,ctg,x,y,=,sec,x,, y=,csc,x,;,函數,定義域,值域,周期,奇偶,單調,y=,sinx,(-∞, +∞),[-1,1],2,π,奇,(-,π,/2+2k,π,,,π,/2+2k,π,),遞增,,(,π,/2+2k,π,, 3,π,/2+2k,π,),遞減,y=,cosx,(-∞, +∞),[-1,1],2,π,偶,(,π,+2k,π,, 2,π,+2k,π,),遞增,,(2k,π,,,π,+2k,π,),遞減,y=,tgx,x≠,π,/2+k,π,(-∞, +∞),π,奇,(-,π,/2+k,π,,,π,/2+k,π,),遞增,y=,ctgx,x≠,k,π,(-∞, +∞),π,奇,(k,π,,,π,+k,π,),遞減,y=,secx,x≠,π,,/2+k,π,(-∞, -1]U,,[1, +∞),2,π,偶,(2k,π,,,π,/2+2k,π,),(,π,/2+2k,π,,,π,+2k,π,),遞增,,(-,π,/2+2k,π,,2k,π,),(,π,+2k,π,,3,π,/2+2k,π,),遞減,y=,cscx,x≠,k,π,(-∞, -1]U,,[1, +∞),2,π,奇,(-,π,/2+2k,π,,2k,π,),(2k,π,,,π,/2+2k,π,),遞增,,(,π,/2+2k,π,,,π,+2k,π,),(,π,+2k,π,, 3,π,/2+2k,π,),遞減,函數,-,初等函數,y=,arcsin,x,y=,arccos,x,y=,arcctg,x,y=,arctg,x,函數,-,基本,初等函數,反三角函數,函數,-,基本,初等函數,習題選講,例,設,f,(,x,)=,1 |,x,|<1,0 |,x,|=1,-1 |,x,|>1,{,,,g,(,x,)=e,x,,,求,f[g(,x,)],和,g[f(,x,)],,并畫圖。

D,f,=(-∞,+∞),W,f,,={-1,0,1},D,g,=(-∞,+∞),W,g,,=(0, +∞),D,f,?,W,g,=,W,g,,=(0, +∞),所以定義域為：,D=D,g,=(-∞, +∞),,1 |g(,x,)|<1 i.e,x,<0,0 |g(,x,)|=1 i.e,x,=0,-1 |g(,x,)|>1 i.e,x,>0,{,f[g(,x,)]=,D,g,?,W,f,=,W,f,,={-1,0,1},所以定義域為：,D=,D,f,=(-∞, +∞),,e,1,|,x,|<1,e,0,|,x,|=1,e,-1,|,x,|>1,{,g[f(,x,)]=,e,f(,x,),=,,e,|,x,|<1,1,|,x,|=1,e,-1,|,x,|>1,{,g[f(,x,)]=,e,f(,x,),=,函數圖像的簡單組合與變換,迭加,,翻轉,,放縮,,,平移,。