Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第,3.4,節(jié) 向量組的秩,向量組等價,定 義,性質,計算方法,3.4.1 向量組的等價關系,設有兩個向量組,A,:,1,2,.,m,示，則稱這兩個向量組,等價,.,線性表示,.,若向量組,A,與向量組,B,能相互線性表,量組,A,線性表示，則稱,向量組,B,能由向量組,A,及,B,:,1,2,.,s,若,B,組中的每個向量都能由向,例1,設有向量組,A,和,B,求證：向量組,A,和向量組,B,等價,向量組之間的等價關系具有下面的三條性質：,（）反身性：,向量組,A,與向量組,A,自身等價；,（）對稱性：,若向量組,A,與向量組,B,等價，則,向量組,B,與向量組,A,等價；,（）傳遞性：,若向量組,A,與向量組,B,等價，向,量組,B,與向量組,C,等價,則向量組,A,與向量組,C,等價,定義3.4.2,設有向量組,A,如果,A,的一個部分,含向量個數(shù),r,稱為,向量組的秩,.,極大無關組所,無關向量組,(簡稱,極大無關組,),;,合，那么稱部分向量組,A,0,是,A,的一個,極大線性,(ii),向量組,A,中每一個向量都是,A,0,的線性組,(i),向量組,A,0,線性無關;,向量組,A,0,滿足：,3.4.2 定義,例2,設有向量組,A,求向量組,A,的極大無關組和秩,例3,設有向量組,A,求向量組,A,的極大無關組和秩,上面兩個例子說明，一個向量組的極大無關組,可能不是唯一的，,但極大無關組中所包含的向量個,卻是相同,有如下定理,對一個,向量組，其所有極大無關,組所含向量的個數(shù)都相同,從定理3.4.1可得到以下推論：,3.4.3 性質,推論3.4.3,等價的向量組有相同的秩,推論3.4.1,若,向量組,A,能由向量組,B,線性,表示，則向量組,A,的秩不大于向量組,B,的秩,推論3.4.2,兩個等價的線性無關向量組所包,含向量個數(shù)一定相等,對于一個向量組，一般情況下如何求它的秩和,極大無關組呢？,下面來討論這個問題,例4,考慮構成上三角形矩陣,的,n,個列向量所構成的向量組的秩,由于,R,(,A,)=,n,，所以這,n,個列向量是線性無關,的，故這向量組的秩為,n,例5,考慮構成下列階梯形矩陣,的6個列向量（,a,11,a,23,a,34,a,46,不為零）,顯然，列向量組,是線性無關的，而若再加上一個向量就是線性相,關的，,因此這6個列向量構成的向量組的秩為4，,也是就是矩陣,A,的秩，而極大無關組就是上述,列向量組,上例的結論對于一般的階梯形矩陣是成立的，,當矩陣不是階梯形矩陣時，又如何求呢？,我們知,道任何一個矩陣都可以通過初等行變換化為階梯,形矩陣,因此，有下列結論,列向量組通過初等行變換不改變,線性相關性,至此，我們一方面知道可以用初等行變換來求,列向量組的秩和極大無關組，,另一方面又對矩陣,秩有了新的了解，,即矩陣秩就是列向量組中極大無,關組的個數(shù),矩陣,A,的秩=矩陣,A,的列向量組,的秩=矩陣,A,的行向量組的秩,又知,R,(,A,)=,R,(,A,T,)，因此有,3.4.4 向量組的極大無關組的求法,前面的討論為我們提供了一個求向量組的秩、,極大無關組并用極大無關組表示其余向量的有效,方法，,這個方法的步驟如下：,Step1,把向量組中的每個向量作為矩陣的一列,構造一個矩陣；,Step2,對所作的矩陣施行初等行變換，直至化,為行最簡形矩陣；,Step3,在所得的行最簡形矩陣中，每個非零行,的第一個非零元所在的列對應的向量構成一個極大,無關組，不在極大無關組中的列上的元素即為用極,大無關組表示該列所在的向量的表示系數(shù),下面的例子都要用這種方法,例6,設,試求向量組,1,2,3,4,5,的秩及其一個極大無關,組，并將其余向量用這個極大無關組線性表示,解,例7,設,求矩陣,A,的列向量組的秩及其一個極大無關組，,并將其余向量用這個極大無關組線性表示,解,例8,設,證明向量組,1,2,與,1,2,3,等價,由極大無關組的定義可知，向量組中每一個向,量都可由極大無關組表出，,例6和例7對這一事實,進行了驗證,下面的定理說明，這種表示式還是唯,一的,向量組中每一個向量由極大無關組,的向量線性表出的表達式是唯一確定的,。